ความย้อนแย้งของอคิลลิสกับเต่า นำเสนอโดยนักปรัชญาชาวกรีก ซีโน ท้าทายสามัญสำนึก มันอ้างว่า Achilles นักกีฬาจะไม่มีวันตามเต่าเงอะงะถ้ามันเริ่มเคลื่อนไหวต่อหน้าเขา มันคืออะไร: ความซับซ้อน (ข้อผิดพลาดโดยเจตนาในการพิสูจน์) หรือความขัดแย้ง (ข้อความที่มีคำอธิบายเชิงตรรกะ)? มาทำความเข้าใจบทความนี้กัน
ซีนอนคือใคร
Zeno เกิดเมื่อประมาณ 488 ปีก่อนคริสตกาล ในเมืองเอเลีย (ปัจจุบันคือเมืองเวเลีย) ประเทศอิตาลี เขาอาศัยอยู่เป็นเวลาหลายปีในเอเธนส์ซึ่งเขาทุ่มเทพลังงานทั้งหมดของเขาเพื่ออธิบายและพัฒนาระบบปรัชญาของ Parmenides เป็นที่ทราบกันดีจากงานเขียนของเพลโตว่า Zeno อายุน้อยกว่า Parmenides 25 ปี และเขียนการป้องกันระบบปรัชญาของเขาตั้งแต่อายุยังน้อย ถึงแม้ว่าจะได้รับการช่วยเหลือจากงานเขียนของเขาเพียงเล็กน้อย พวกเราส่วนใหญ่รู้เกี่ยวกับเขาจากงานเขียนของอริสโตเติลเท่านั้นและนักปรัชญาคนนี้ชื่อซีโนแห่งเอเลียมีชื่อเสียงด้านปรัชญาของเขาการให้เหตุผล
หนังสือแห่งความขัดแย้ง
ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตกาล นักปรัชญาชาวกรีกชื่อ Zeno ได้จัดการกับปรากฏการณ์ของการเคลื่อนไหว อวกาศ และเวลา การที่คน สัตว์ และสิ่งของสามารถเคลื่อนที่ได้นั้นเป็นพื้นฐานของข้อขัดแย้งกับเต่าอคิลลิส นักคณิตศาสตร์และปราชญ์ได้เขียนความขัดแย้งสี่ประการหรือ "ความขัดแย้งของการเคลื่อนไหว" ที่รวมอยู่ในหนังสือที่เขียนโดย Zeno เมื่อ 2500 ปีที่แล้ว พวกเขาสนับสนุนตำแหน่งของ Parmenides ว่าการเคลื่อนไหวนั้นเป็นไปไม่ได้ เราจะพิจารณาความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุด - เกี่ยวกับจุดอ่อนและเต่า
เรื่องนี้คือ Achilles กับเต่าตัดสินใจแข่งวิ่งกัน เพื่อให้การแข่งขันน่าสนใจยิ่งขึ้น เต่าอยู่ข้างหน้า Achilles ในระยะหนึ่ง เนื่องจากเต่าตัวหลังเร็วกว่าเต่ามาก ความขัดแย้งคือตราบเท่าที่การวิ่งยังคงดำเนินต่อไป Achilles จะไม่มีวันแซงเต่า
ในความขัดแย้งรุ่นหนึ่ง Zeno กล่าวว่าไม่มีการเคลื่อนไหว มีรูปแบบที่หลากหลาย อริสโตเติลแสดงรายการสี่รูปแบบ แม้ว่าโดยพื้นฐานแล้วสามารถเรียกได้ว่ารูปแบบต่าง ๆ บนเส้นขนานทั้งสองของการเคลื่อนไหว หนึ่งสัมผัสเวลาและอีกอันสัมผัสที่ว่าง
จากฟิสิกส์ของอริสโตเติล
จากเล่ม VI.9 ของฟิสิกส์ของอริสโตเติล คุณสามารถเรียนรู้สิ่งนั้น
ในการแข่ง คนที่วิ่งเร็วจะแซงคนที่ช้าที่สุดไม่ได้ เพราะผู้ไล่ตามต้องไปถึงจุดที่เริ่มไล่ล่าก่อน
ดังนั้นหลังจาก Achilles วิ่งไปเรื่อย ๆ เขาจะถึงจุดที่เต่าเริ่มต้น แต่ในเวลาเดียวกัน เต่าจะเคลื่อนไปข้างหน้าเพื่อไปยังจุดต่อไปบนเส้นทางของมัน ดังนั้นอคิลลิสจึงยังต้องตามเต่าให้ทัน เขาก้าวไปข้างหน้าอีกครั้ง โดยเข้าใกล้สิ่งที่เต่าเคยครอบครองอย่างรวดเร็ว และ "ค้นพบ" อีกครั้งว่าเต่าคลานไปข้างหน้าเล็กน้อย
ขั้นตอนนี้ทำซ้ำได้ตราบเท่าที่คุณต้องการทำซ้ำ เนื่องจากมิติต่าง ๆ เป็นโครงสร้างของมนุษย์ ดังนั้นจึงไม่มีขอบเขต เราจะไม่มีวันไปถึงจุดที่อคิลลิสเอาชนะเต่าได้ นี่เป็นความขัดแย้งอย่างแม่นยำของ Zeno เกี่ยวกับจุดอ่อนและเต่า หลังจากการให้เหตุผลเชิงตรรกะ Achilles จะไม่มีวันไล่ตามเต่าให้ได้ ในทางปฏิบัติ นักแข่ง Achilles จะวิ่งผ่านเต่าที่เชื่องช้า
ความหมายของความขัดแย้ง
คำอธิบายนั้นซับซ้อนกว่าความขัดแย้งที่เกิดขึ้นจริง นั่นเป็นเหตุผลที่หลายคนพูดว่า: "ฉันไม่เข้าใจความขัดแย้งของ Achilles และเต่า" เป็นการยากที่จะรับรู้ด้วยใจถึงสิ่งที่ไม่ชัดเจนจริง ๆ แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามก็ชัดเจน ทุกอย่างมีอยู่ในคำอธิบายของปัญหาเอง นักปราชญ์พิสูจน์ให้เห็นว่าช่องว่างนั้นแบ่งได้ และเนื่องจากมันแบ่งได้ เราจึงไม่สามารถไปถึงจุดใดจุดหนึ่งในอวกาศได้เมื่อมีอีกคนหนึ่งเคลื่อนตัวไปไกลจากจุดนั้น
Zeno ตามเงื่อนไขเหล่านี้ พิสูจน์ให้เห็นว่า Achilles ไม่สามารถไล่ตามเต่าได้ เพราะพื้นที่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ เล็กๆ ได้ไม่จำกัด โดยที่เต่าจะเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ด้านหน้าเสมอ ควรสังเกตด้วยว่าในขณะที่เวลาคือการเคลื่อนไหวในขณะที่นี่คือสิ่งที่อริสโตเติลทำ นักวิ่งทั้งสองจะเคลื่อนที่อย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นจึงหยุดนิ่ง ปรากฎว่า Zenon พูดถูก!
ไขข้อขัดแย้งของอคิลลิสกับเต่า
Paradox แสดงความคลาดเคลื่อนระหว่างวิธีที่เราคิดเกี่ยวกับโลกกับโลกที่เป็นจริง โจเซฟ มาซูร์ ศาสตราจารย์กิตติคุณด้านคณิตศาสตร์และผู้เขียน Enlightened Symbols อธิบายว่าความขัดแย้งนั้นเป็น "กลอุบาย" ที่ทำให้คุณคิดถึงพื้นที่ เวลา และการเคลื่อนไหวในทางที่ผิด
แล้วหน้าที่ในการตัดสินว่าความคิดของเราผิดตรงไหน การเคลื่อนไหวเป็นไปได้ แน่นอน นักวิ่งที่เป็นมนุษย์สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าในการแข่งขันได้
ความขัดแย้งของอคิลลีสกับเต่าในแง่ของคณิตศาสตร์มีดังนี้:
- สมมติว่าเต่าอยู่ข้างหน้า 100 เมตร เมื่อ Achilles เดิน 100 เมตร เต่าก็จะอยู่ข้างหน้าเขา 10 เมตร
- เมื่อถึง 10 เมตรนั้น เต่าก็จะอยู่ข้างหน้า 1 เมตร
- เมื่อถึง 1 เมตร เต่าจะไปข้างหน้า 0.1 เมตร
- เมื่อถึง 0.1 เมตร เต่าจะไปข้างหน้า 0.01 เมตร
ดังนั้น ในกระบวนการเดียวกัน Achilles จะประสบความพ่ายแพ้นับไม่ถ้วน แน่นอน วันนี้เรารู้แล้วว่าผลรวมของ 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111 … เป็นตัวเลขที่แน่นอนและเป็นตัวกำหนดเมื่อ Achilles เอาชนะเต่า
สู่อนันต์ไม่เกิน
ความสับสนที่เกิดจากตัวอย่างของ Zeno ส่วนใหญ่มาจากจุดจำนวนอนันต์การสังเกตและตำแหน่งที่ Achilles ต้องไปถึงก่อนเมื่อเต่าเคลื่อนที่อย่างมั่นคง ดังนั้น แทบเป็นไปไม่ได้เลยที่ Achilles จะแซงเต่า ไม่ต้องพูดถึงมันเลย
ประการแรก ระยะห่างระหว่างจุดอ่อนกับเต่าเริ่มเล็กลงเรื่อยๆ แต่เวลาที่ต้องใช้ในการครอบคลุมระยะทางจะลดลงตามสัดส่วน ปัญหาที่สร้างขึ้นของ Zeno นำไปสู่การขยายตัวของจุดเคลื่อนที่เป็นอนันต์ แต่ยังไม่มีแนวคิดทางคณิตศาสตร์
อย่างที่คุณทราบ เมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่ 17 เท่านั้น เป็นไปได้ที่จะพบวิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับปัญหานี้ในแคลคูลัส นิวตันและไลบนิซเข้าใกล้อนันต์ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ
นักคณิตศาสตร์ นักตรรกวิทยา และปราชญ์ชาวอังกฤษ Bertrand Russell กล่าวว่า "…ข้อโต้แย้งของ Zeno ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฎีเกือบทั้งหมดของอวกาศและอนันต์ที่เสนอในยุคของเราจนถึงปัจจุบัน…"
นี่คือความวิปริตหรือความขัดแย้ง
ในมุมมองเชิงปรัชญา จุดอ่อนกับเต่าเป็นสิ่งที่ผิดธรรมดา ไม่มีความขัดแย้งและข้อผิดพลาดในการให้เหตุผล ทุกอย่างขึ้นอยู่กับการตั้งเป้าหมาย อคิลลิสมีเป้าหมายที่จะไม่ไล่ตามทัน แต่เพื่อให้ทัน การตั้งเป้าหมาย - ตามทัน สิ่งนี้จะไม่ยอมให้ Achilles เท้าเร็วแซงหรือแซงเต่า ในกรณีนี้ ทั้งฟิสิกส์ที่มีกฎหรือคณิตศาสตร์ไม่สามารถช่วยให้ Achilles แซงสิ่งมีชีวิตที่เชื่องช้านี้ได้
ต้องขอบคุณความขัดแย้งทางปรัชญายุคกลางนี้ที่ Zeno สร้างขึ้น เราสามารถสรุปได้: คุณต้องตั้งเป้าหมายให้ถูกต้องและมุ่งไปสู่เป้าหมายนั้น ในความพยายามที่จะติดต่อกับใครซักคน คุณจะยังคงเป็นที่สองอยู่เสมอ และดีที่สุดแม้กระทั่งหลังจากนั้น เมื่อรู้ว่าคน ๆ หนึ่งตั้งเป้าหมายไว้ที่ใด เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าเขาจะบรรลุเป้าหมายหรือจะเสียเวลา ทรัพยากร และพลังงานไปเปล่าๆ
ในชีวิตจริง มีหลายตัวอย่างของการตั้งเป้าหมายที่ไม่ถูกต้อง และความขัดแย้งของ Achilles และเต่าจะมีความเกี่ยวข้องตราบเท่าที่มนุษย์ยังมีอยู่
