วัตถุทรงเรขาคณิตซึ่งต่อมาเรียกว่า "ขวดไคลน์" ได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี พ.ศ. 2425 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อเฟลิกซ์ ไคลน์ เขาเป็นตัวแทนของอะไร? วัตถุนี้ (หรือมากกว่านั้นเป็นพื้นผิวทางเรขาคณิตหรือทอพอโลยี) ไม่สามารถมีอยู่จริงในโลกสามมิติของเรา ทุกรุ่นที่วางขายในร้านขายของที่ระลึกมีรูปลักษณ์ที่ให้แนวคิดที่คลุมเครือว่าขวดไคลน์คืออะไร
เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น มีคำอธิบายดังนี้ ลองนึกภาพขวดที่มีคอยาวมาก จากนั้นให้ทำสองรูในใจ: หนึ่งรูในผนังและรูที่สองที่ด้านล่าง จากนั้นงอคอ สอดเข้าไปในรูในผนังแล้วดึงออกมาทางรูด้านล่าง วัตถุที่ได้จะเป็นการฉายภาพของวัตถุอวกาศ 4 มิติ ซึ่งเป็นขวดของไคลน์จริง ๆ ในพื้นที่สามมิติของเรา
คำอธิบายของขวดไคลน์ในภาษาของศัพท์ทางคณิตศาสตร์หรือสูตรจะไม่พูดอะไรกับคนธรรมดา คำจำกัดความดังกล่าวจะตอบสนองหลาย ๆ คนหรือไม่: ขวดไคลน์เป็นท่อร่วม (หรือพื้นผิว) ที่ไม่ปรับทิศทางได้ซึ่งมีคุณสมบัติหลายประการ หลังจากคำว่า "คุณสมบัติ" คุณสามารถสร้างชุดข้อมูลแบบยาวที่ประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวเลข และตัวอักษรกรีกและละติน แต่สิ่งนี้อาจสร้างความสับสนให้กับคนที่ไม่ได้เตรียมตัวซึ่งมีความคิดแล้วว่าการฉายภาพขวดคืออะไรในพื้นที่สามมิติ
ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ: ชื่อ “ขวดไคลน์” ถูกตั้งให้กับวัตถุชิ้นนี้ น่าจะเป็นเพราะความผิดพลาดหรือการพิมพ์ผิดพลาดของผู้แปล ความจริงก็คือว่าไคลน์ในคำจำกัดความของเขาใช้คำว่า Fläche นั่นคือ "พื้นผิว" ในภาษาเยอรมัน เมื่อ "เดินทาง" จากประเทศเยอรมนีไปยังประเทศอื่น คำนี้ถูกเปลี่ยนเป็นตัวสะกดที่คล้ายกัน Flasche (ขวด) แล้วคำนั้นก็กลับคืนสู่ถิ่นกำเนิดในรูปแบบใหม่ที่ถูกดัดแปลงและคงอยู่ตลอดไป
สำหรับบุคคลสำคัญทางวัฒนธรรมหลายคน (โดยพื้นฐานแล้วเป็นนักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์) คำว่า "ขวดไคลน์" กลายเป็นคำที่ดึงดูดใจ การใช้เป็นคุณลักษณะและบางครั้งตัวละครหลักได้กลายเป็นสัญลักษณ์ของนิยาย "ปัญญา" ตัวอย่างเช่น เรื่อง "The Last Illusionist" ซึ่งเขียนโดย Bruce Eliot ในเรื่อง ผู้ช่วยของนักมายากลได้ขยี้ผู้อุปถัมภ์ของเขา ซึ่งกำลังเล่นกลด้วยขวดไคลน์สี่มิติ นักเล่นกลลวงตาที่ปีนเข้าไปในขวดนั้นยังคงจมอยู่ในขวดครึ่งหนึ่ง ผู้เขียนกล่าวว่าขวดนี้ไม่สามารถแตกได้โดยไม่ทำลายเนื้อหา จริงเหรอ - พูดไม่ได้ไม่มี. อย่างน้อย นักคณิตศาสตร์ที่อาจตอบคำถามนี้ได้ ก็ไม่งงกับมัน เพราะวิทยาศาสตร์นี่ไม่เกี่ยวข้อง
บางครั้งขวดของไคลน์ที่ทำขึ้นเป็นพิเศษนั้นเต็มไปด้วยไวน์เพื่อการส่งเสริมการขาย จริงอยู่ การทำขวดแก้วแบบนี้เป็นเรื่องยากในทางเทคนิค ซึ่งต้องใช้เครื่องเป่าลมแก้วระดับพิเศษ จึงมีต้นทุนค่อนข้างสูงและมีการใช้งานไม่บ่อยนัก และการพัฒนาเทคโนโลยีและการผลิตขวดดังกล่าวในลำธารนั้นไม่สมเหตุสมผลเพราะเหตุนี้จึงจำเป็นต้องหาวิธีเติมขวดด้วยของเหลว (ที่นี่ก็มีปัญหาเช่นกัน) และความรู้สึกผิดปกติและความแปลกใหม่จะถูกแทนที่อย่างรวดเร็วด้วยความไม่สะดวกในการเทไวน์จากขวดดังกล่าวลงในแก้ว
